Пусть функция \(f(x)\) определена на отрезке \([a, b]\).
1. Разбиение отрезка: Выберем набор точек
\[a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n-1} < x_n = b\]
которые разбивают отрезок \([a, b]\) на \(n\) частичных отрезков \([x_{i-1}, x_i]\), где \(i = 1, 2, \ldots, n\).
2. Диаметр разбиения: Обозначим
\[\lambda = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i\]
где \(\Delta x_i = x_i - x_{i-1}\) — длина \(i\)-го отрезка разбиения.
3. Интегральная сумма: На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку \(\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]\) и составим сумму:
\[\sigma = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i\]
которая называется интегральной суммой Римана.
4. Определенный интеграл: Если существует конечный предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю:
\[I = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i\]
и этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора точек \(\xi_i\), то функция \(f(x)\) называется интегрируемой по Риману на отрезке \([a, b]\), а число \(I\) — определенным интегралом от функции \(f(x)\) по отрезку \([a, b]\), обозначаемым:
\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx\]
Математическая запись определения:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i \]
где \(a\) и \(b\) называются пределами интегрирования (нижним и верхним соответственно).
Для неотрицательной функции \(f(x) \geq 0\) определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной:
Приближенное значение интеграла: 0.00
Предел интегральных сумм при λ→0: 0.00
Функция интегрируема по Риману, если:
Если функция \(f(x)\) непрерывна на отрезке \([a, b]\), то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство (схема):
1. В силу непрерывности на компакте, функция равномерно непрерывна.
2. Для любого \(\varepsilon > 0\) существует \(\delta > 0\) такое, что для любого разбиения с \(\lambda < \delta\) колебание функции на каждом отрезке разбиения меньше \(\varepsilon/(b-a)\).
3. Тогда разность между верхней и нижней суммами Дарбу меньше \(\varepsilon\).
4. Следовательно, предел интегральных сумм существует и не зависит от выбора точек \(\xi_i\).
1. Линейность:
\[ \int_{a}^{b} [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]
2. Аддитивность:
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx \]
3. Монотонность: Если \(f(x) \leq g(x)\) на \([a, b]\), то
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx \]
4. Теорема о среднем: Если \(f(x)\) непрерывна на \([a, b]\), то существует точка \(c \in [a, b]\) такая, что
\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c)(b - a) \]